ai 대학원 학부 인턴생 준비에 대해 교수님께 메일을 보내도 될까요?

한서삼 컴공 4.0/4.5 인 3학년 학생입니다.

지금 방학 때 프로젝트 처음으로 만들어보고 있고, 영어, 수학 등 잘 못합니다.
ai 대학원에 가고 싶어 자대 교수님들과 면담한 결과 두 분의 교수님이 운영하고 계신 연구실의 학부 인턴생을 추천해주셨습니다.

그런데 저는 타대학을 가고 싶어서요.
보시다시피 아는 것도 없고 한 것도 없는데 이번 방학부터 준비를 시작해서 4-1에 학부 연구생을 지원하고 싶습니다.

타대학 교수님들께 어떻게 준비하면 지원할 수 있는지 메일을 보내는 거에 대해 어떻게 생각하시나요?
아무래도 한 것도 없는데 인서울이라고 하기에도 어려운 대학에서 좋은 학점도 아닌 학생이 메일을 보내기엔 염치가 없는 건가 해서요.

그리고 좀 알아보니 졸업생들이 어디로 취업했는지가 연구실 선택에서 중요하다고 하던데,
추천해주신 교수님 연구실 졸업생들이 좋은 곳으로 취업했더라구요.

제가 선택을 못하고 있습니다. 여기저기에 휘둘리고 있고요.
그냥 자대 가라는 말씀도 괜찮습니다. 뭐라도 조언부탁드려요.